สมการและอสมการ

สมการและอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

              นิยาม1    สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  คือ  สมการที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่า  (unknow)  และเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น  1  ตัวแปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมาย  “ = ”  หรือ  ปรากฏทั้งสองข้างแต่เมื่อจัดรูปให้อยู่ในรูปผลสำเร็จโดยมี  x  เป็นตัวแปร  a , b  เป็นค่าคงตัว  และ  a0  จะอยู่ในรูปแบบสมการเป็น

                                                                ax + b = 0

               

                สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  จะมีค่าคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น  คือ  จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง   บางครั้งจะเรียกคำตอบของสมการว่า  รากของสมการ

                คำสั่งของโจทย์ประเภทนี้มักใช้คำว่า  จงแก้สมการ  จงหาค่า  x  (ตัวแปรในสมการ)  จงหารากของสมการหรือจงหารคำตอบของสมการ

                สมการ  2  สมการจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการ  ทั้งสองต้องเท่ากัน

ข้อแนะนำในการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมีดังนี้

      

1.             ทำให้เป็นผลสำเร็จโดยการจัดให้ตัวแปรและค่าคงตัวอยู่คนละข้างของเครื่องหมาย 

“ = ”

           2.       ถ้าพบวงเล็บในสมการ เช่น (  ) . [  ]  หรือ  {  }  ต้องถอดวงเล็บทิ้งไป  โดยถอดที่ละวงเล็บ  และต้องระมัดระวังอย่างยิ่งหน้าวงเล็บใดมีเครื่องหมาย .”-“  เมื่อถอดวงเล็บออกแล้วต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทุกจำนวนภายในวงเล็บนั้นเป็นจำนวนตรงข้าม

            3.    การแก้สมการเมื่อจำนวนในสมการส่วนมากอยู่ในรูปเศษส่วน 

จะไม่สะดวกในการทำให้เป็นผลสำเร็จ  อาจทำให้  “ส่วน”  หมดไปโดยการนำ  ค.ร.น.  ของส่วนทั้งหมดคูณตลอดสมการนั้น

 

2.  โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

                โจทย์ประเภทนี้จะมีข้อความที่ไม่ทราบค่าปรากฏอยู่  และข้อความที่เกี่ยวข้องกับข้อความอื่น  ๆ  อีกหลายข้อความในโจทย์นั้น  ซึ่งอาจมีความสัมพันธ์กับข้อความนั้น  ๆ  โดยตรงหรือโดยอ้อม  การแก้ปัญหาเกี่ยวกับโจทย์สมการก็คือการหาคำตอบของโจทย์นั่นเอง  โดยวิธีการกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่านั้น  (นิยมใช้  x  เป็นตัวแปร)  แล้วเขียนข้อความอื่น  ๆ  ในรูปของ  x  นี้  สร้างสมการขึ้นมา

ข้อแนะนำในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับโจทย์ปัญหาสมการทั่วๆ ไป  มีดังนี้

                1)     เมื่ออ่านปัญหาโจทย์แล้วจะต้องกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ยังไม่ทราบค่าในโจทย์ซึ่งอาจมีหลายข้อความโดยทั่วไปมักจะกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่โจทย์ถาม  แต่ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ทุกครั้ง  ทั้งนี้เนื่องจากบางครั้งการทำเช่นนี้จะทำให้เข้าสมการ  (เขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกับข้อความอื่นๆ  ที่ปรากฎในโจทย์)      ไม่สะดวกหรืออาจทำได้ยากกว่าการกำหนดตัวแปรแทนข้อความอื่น  (ที่โจทย์มิได้ถาม)  ซึ่งมีความคล่องในการเขียนสมการสมพันธ์กับข้อความต่าง ๆ  ที่ปรากฏในโจทย์  แต่ต้องระวังเวลาตอบต้องไม่ตอบค่าของตัวแปรนั้น  จะต้องนำค่าตัวแปรไปแทนข้อความที่โจทย์ถาม

               2)     นิยมกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่าซึ่งปรากฎหลายครั้งในโจทย์

 ตัวอย่างเช่น       ปูมีเงินมากกว่ากุ้ง  320  บาท  แต่กุ้งมีเงินน้อยกว่าปลา  125  บาท  ทั้งสามคนมีเงินรวมกัน  1,000  บาท  แต่ละคนมีเงินเท่าใด

                วิธีทำ      ให้  กุ้งมีเงิน  x  บาท    ปูมีเงิน  x + 320  บาท  ดังนั้น  ปลามีเงิน  x+125  บาท

                                เนื่องจากโจทย์ข้อนี้ถามจำนวนเงินของทุกคน  ให้  x  เป็นจำนวนเงินของใครก็ได้  แต่ให้กุ้งจะสะดวกที่สุดแต่ถ้าโจทย์ถามเงินของปลาคนเดียว  การให้  x  เป็นจำนวนเงินของปลาจะดีกว่าเนื่องจากเมื่อหาค่า  x  ได้จะได้คำตอบเลย

                                นั่นคือ  ให้ปลามีเงิน  x  บาท   กุ้งมีเงิน  x – 125 บาท  ดังนั้น  ปูมีเงิน        (x - 125)+320 บาท

               

                3)    เครื่องหมาย  “=”  มักจะสร้างจากข้อความ  เป็น,  อยู่,  จะได้(ได้),  เท่ากับ,  รวมกับ,  ต่างกัน,  หรือมาจากการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างข้อความ

 ตังอย่างเช่น                                          กำไร  =    ราคา – ต้นทุน

                                                                รายได้  =   จำนวนสิ่งที่ขาย x ราคาขายต่อหน่วย

               

                4)    บางครั้งอาจพลั้งเผลอเข้าสมการผิด  ต้องระวัง  ตัวอย่างเช่น  ข้อความว่า  3  ใน  4  ของเงินของฉันน้อยกว่า  1  ใน  2  ของเงินของเพื่อนอยู่  80  บาท  ถ้าเรา  2  คนมีเงินรวมกัน  500  บาท  ฉันมีเงินเท่าใด

ต้องระวังข้อความ  “น้อยกว่า”  ต้องนำจำนวนมาก – จำนวนน้อย  น้ำข้อความข้างหลังขึ้นก่อน  จะได้จำนวนแรก – จำนวนหลัง  ไม่ได้

                5)    ระลึกเสมอว่า  โจทย์ถามอะไร  เมื่อให้ตัวแปรแทนข้อความใดแล้วให้ใส่หน่วยของตัวแปร (x)  ด้วย  แล้วน้ำ x  ไปสร้างความสัมพันธ์เพื่อนำมาสู่รูปสมการ  เมื่อได้คำตอบของ  x  แล้ว  ให้พิจารณาก่อนตอบสักเล็กน้อยว่าสอดคล้องกับโจทย์หรือไม่  เนื่องจากบางคำตอบในรูปจำนวนเต็มบวก  จะอยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมไม่ได้จำนวนเหล่านี้มักมีหน่วยว่า  อัน,  ตัว,  เล่ม,  คน  หรือบางครั้งค่า  x  อาจได้ค่าลบซึ่งส่วนมากค่า x ในสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  จะได้ค่าเดียวที่เป็นบวก  เมื่อมีกรณีผิดพลาดดังกล่าวเกิดขึ้นอาจเนื่องมาจาก

                            ก.    อ่านโจทย์ไม่เข้าใจความเกี่ยวข้องระหว่างข้อความต่าง ๆ  ทำให้เข้าสมการไม่ถูกต้อง

                          ข.    รีบร้อนทำโดยไม่ระวังเท่าที่ควร  เกี่ยวกับการบวกหรือลบกันต้องเป็นจำนวนในหน่วยเดียวกัน  แต่ละเลยไม่ระวังอาจก่อปัญหาได้  ดังนั้นควรระบุหน่วยของตัวแปร (x)  ให้แน่นอน    ถ้าเป็นหน่วยเดียวกับหน่วยที่โจทย์ถามจะดีมาก

                            ค.    ขาดทักษะในการแก้สมการมาก่อน  ทำให้มีปัญหาเกี่ยวกับการแก้โจทสมการ

                            ง.    คิดเลขผิดพลาด ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดพื้นฐาน  บางครั้งอาจเกิดจากความเลินเล่อหรือเกิดจากความไม่รู้จริง

                 6)     ถ้ามีเวลาอาจตรวจคำตอบที่ได้ว่าถูกต้องแน่นอน  โดยการนำไปแทนในโจทย์ว่าสอดคล้องกับโจทย์ปัญหาข้อนั้น ๆ  หรือไม่  และเป็นทางออกทางหนึ่งเมื่อโจทย์ข้อสอบเป็นแบบเลือกตอบ  ถ้าทำไม่ได้หรือได้คำตอบไม่ตรงกับตัวเลือกเลย  อาจแก้ปัญหาโดยการไล่หาคำตอบจากตัวเลือกโดยนำไปตรวจสอบทีละค่าในโจทย์ก็ได้

                7)     พึงระลึกเสมอว่า  ทักษะการเข้าสมการต้องใช้อีกมาก  ดังนั้นควรฝึกให้เป็นในบทเรียนบทแรกนี้  ในชั้นนี้จะพบอีกในเรื่องสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้นสองตัวแปร  อีกทั้งต้องใช้ทักษะนี้ในชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายอีกด้วย

                8)  ตรวจสอบตนเองอีกครั้งว่ามีความรู้เรื่องต่อไปนี้หรือไม่

3.   อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

                นิยาม 2 

                อสมการ  เป็นประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมาย    >  ,   <     ,   ≤   ,   ≥     หรือ     ≠ 

เช่น   3x  -  2  <  5 , 2x  -  1  ≠ 8  -  5  ≤  2x  +  1  <  3

                คำตอบของสมการคือ  จำนวนทุกจำนวนที่นำไปแทนค่าตัวแปรในอสมการนั้น  แล้วทำให้อสมการนั้นเป็นจริง  อสมการที่สมมูลกัน  จะต้องมีคำตอบเหมือนกันทุกค่า

                สมบัติเกี่ยวกับการไม่เท่ากัน  สำหรับการบวก  และ  การคูณ  จะนำมาใช้ในการแก้อสมการ  ดังนี้

                เมื่อกำหนด  a  ,  b  , c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ

                1.  ถ้า    a  <  b    แล้ว        a  +  c  <  b  +  c

                2.  ถ้า     a  <  b    แล้ว        a  -  b  <  0

                3.  ถ้า     a  <  b    แล้ว        ac  <  bc                      เมื่อ c  >  0

                     แต่ถ้าa  <  b   แล้ว        ac  >  bc                      เมื่อ c  <  0

  4.  ถ้า     a  >  b    แล้ว        a  +  c  >  b +  c

                5.  ถ้า     a  >  b    แล้ว        a  -  b  >  0

                6.  ถ้า     a  >  b    แล้ว        ac  >  bc      เมื่อ    c  >  0

                                                                ac  <  bc      เมื่อ    c  <  0

ข้อควรระวัง    เมื่อนำจำนวนลบคูฯตลอดอสมการ  ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย  “ < ”  เป็น 

“  > ”    หรือเปลี่ยนเครื่องหมาย  “  > ”  เป็น  “ < ”

 แบบฝึกหัดที่  1

คำชี้แจง     

                จงเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว

1.  รากของสมการ      4(2x - 9) – 3 (1 - x)  =  5x +3    คือข้อใด

                1.    1.5                                                 2.    2.25              

                3.    5.75                                               4.    7.0

2.  จงหาค่า  x  จากสมการ     1.2 (x - 2) + 0.5 (1 - x)   =  2.3

                1.    5.5                                                 2.    6.5                

                3.    6.0                                                 4.    7.0

3.   ชื่นกับชมมีเงินรวมกัน  400    บาท   ถ้าชื่นให้เงินชมอีก  10  บาท   ชื่นจะมีเงินมากกว่าชมอยู่  40  บาท  เดิมชมมีเงินอยู่กี่บาท

                1.    150                                                                2.    160                               

                3.    170                                                                4.    180

 4.  ปลาตัวหนึ่งท่อนหัวของมันยาว  9  นิ้ว  ส่วนท่อนหางยาวเท่ากับท่อนหัวกับอีกครึ่งหนึ่งของลำตัว  และท่อน    ลำตัวของปลาตัวนี้ก็ยาว  เท่ากับส่วนยาวของท่อนหัว  และท่อนหางรวมกัน  ปลาทั้งตัวยาว     เท่าใด

                1.    36                                                  2.    48                 

                3.    64                                                  4.    72

5.  ซื้อเสื้อยืดมาทั้งหมด  20  ตัว  ราคารวมกัน  1,500  บาท  เสื้อมีสองชนิด  ชนิดหนึ่งราคาตัวละ

 60  บาท  อีกชนิดหนึ่งราคาตัวละ  110  บาท  ฉันซื้อซื้อสองชนิดต่างกันกี่ตัว

                1.    6                                                     2.    8                    

                3.    14                                                  4.    18

6.  สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้า  มีความยาวของเส้นวัดโดยรอบรูปเท่ากัน  ถ้าด้านหนึ่งของ จัตุรัสยาวเป็นสองเท่าของด้านกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า  และด้านยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ

 27  นิ้ว  ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะยาวเท่าไร

                1.    18                                                  2.    20                 

                3.    24                                                  4.    25

7.  ปีนี้พ่อมีอายุเป็น  2  เท่าของอายุของพี่  แต่พี่โตกว่าผม  3  ปี  อีก  14  ปีข้างหน้า  อายุของพ่อกับอายุของผมจะเป็น  7: 4  เมื่อ  2  ปีก่อน อายุของพ่อรวมกับอายุของพี่  และอายุของผมเป็น       เท่าใด

                1.    62                                                  2.    73                 

                3.    75                                                  4.    78

 8.  แม่ค้าซื้อไก่มาจำนวนหนึ่ง  ในราคาฟองละ  1.50  บาท  แล้วเอามาขายฟองละ  2  บาท

 ไข่เน่า เสีย  13  ฟอง  ขายที่เหลือไปหมดได้กำไรทั้งสิ้น  16  %  แม่ค้าซื้อไข่มาทั้งหมดกี่ฟอง

                1.    70                                                  2.    80                 

                3.    90                                                  4.   100

9.  ชายคนหนึ่งมีเงิน  2,020  บาท  จ่ายให้บุตรทุกคนโดยให้บุตรสาวคนละ  150  บาท  และให้บุตรชายคนละ  280  บาท  ถ้าเขามีบุตรรวม  10  คน  จะมีบุตรสาวมากกว่าบุตรชายกี่คน

                1.    2                                                     2.    3                    

                3.    4                                                     4.    5

10.  หนังสือเล่มหนึ่งมี  500  หน้า  ถ้าอ่านวันละไม่ถึง  25  หน้า  ต้องอ่านอย่างน้อยกี่วันจึงจะจบ

                1.    20                                           2.    21                           

                3.    25                                            4.    30

  เฉลย    1.  4         2.  3       3.  3       4.  4       5.  2       6.  1     7.  3      8.  4       9.  1          10. 2                       

ระบบสมการเชิงเส้น

                ระบบสมการเชิงเส้น    คือ  สมการเชิงเส้นมากกว่า  1  สมการขึ้นไป  แต่ละสมการจะมีตัวแปรมากกว่า  1  ตัว  ถ้าตัวแปร  2  ตัวจะเรียกว่า  สมการเชิงเส้นสองตัวแปร  ซึ่งในระบบนี้จะมีสมการอย่างน้อย  2  สมการ  จึงจะหาค่าคำตอบของตัวแปรทั้งสองได้  เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น  3  ตัวแปร  ก็ต้องมีสมการอย่างน้อย  3  สมการ  จึงจะหาคำตอบของตัวแปรได้  โดยตัวแปรทุกตัวในสมการ  จะต้องอยู่ในรูปกำลังหนึ่ง  และอยู่ในรูปผลบวก  หรือผลต่างระหว่างตัวแปรเหล่านั้น

                1.   สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

                รูปแบบระบบสมการสองตัวแปร     คือ

                                a ₁  x  +  b ₁ y      =             c ₁           เมื่อ  a ₁  และ  b ₁  ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

                                a ₂  x  +  b2 y      =             c ₂           เมื่อ  a ₂  และ  b ₂  ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

                ส่วนระบบสมการเชิงเส้นมากกว่าสองตัวแปร  จะกล่าวถึงเล็กน้อยเท่านั้น

                                ในชั้นนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการหาค่าตัวแปร   2   ตัวแปรจากระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร  ซึ่งถ้านำสมการทั้งสองมาเขียนกราฟเส้นตรง  และจุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน  จะเป็นคำตอบของสมการนี้

ตัวอย่างเช่น                         ระบบสมการ        2x – 5y  =    1                                    ………….(1)

                                                                            x – 3y  =    6                                   …………..(2)

x	0	3	6
y  =    2x -1 5	- 0.2	1	2.2
y  =   6 – x 3	2	1	0

  

ดังนั้น  คำตอบของระบบสมการคือ                x   =   3     และ   y   =  1

 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้วิธีเขียนกราฟ  จะไม่สะดวก  เนื่องจากเสียเวลามาก  บางครั้งคำตอบที่ได้จากกราฟ  อาจพิจารณาหาคำตอบได้ยาก  เพราะคำตอบอาจไม่ใช้จำนวนเต็ม  บางครั้งเป็นเศษส่วน  (จำนวนตรรกะ)  จึงยากที่จะระบุจำนวนใดเป็นคำตอบของระบบสมการนี้

                การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร  ยังคงใช้สมบัติการเท่าเทียมกันกับการบวกและการคูณเช่นเดียวกับ  การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

                นั่นคือ  สมบัติเกี่ยวกับการบวก  และการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันย่อมเท่ากัน

หลักการสำคัญที่ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

1.             โดยวิธีแทนค่าตัวแปรตัวหนึ่งในรูปตัวแปรอีกตัวหนึ่ง

2.        โดยการเขียนตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้งสองสมการ  แล้วนำมาเท่ากัน  เข้าสมการใหม่

3.           โดยการทำสัมประสิทธิ์ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งทั้งสองสมการให้เท่ากัน  เท่ากับ  ค.ร.น.  ของสัมประสิทธิ์เดิม  ของตัวแปรนี้ทั้งสองสมการ  แล้วนำมาบวกหรือลบกัน

ข้อสังเกต  ถึงแม้ว่าโจทย์ข้อนี้จะทำสัมประสิทธิ์ของ  x  ให้เท่ากัน  แล้วนำมาลบกันก็ได้  แต่ไม่นิยมนำสมการมาลบกัน  เนื่องจากอาจผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย

35x + 42y             =             497

35x – 25y             =             95

          67y            =             402

                ต้องระวัง              42y – (-25y)  บางครั้งอาจผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย  จึงนิยมทำสัมประสิทธิ์ตัวแปรเดิม  ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน  แล้วนำมาบวกกัน  จะได้ไม่ต้องกังวลเรื่องเครื่องหมาย

2.  โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

มีวิธีแก้ปัญหาดังนี้

                1.  อ่านโจทย์ก่อน  แล้วพิจารณาว่าโจทย์ถามอะไร  ถ้ามีมากกว่า 1 คำถาม ให้กำหนด x, y หรือ z  เป็นคำตอบที่โจทย์ถาม  แต่ถ้ามีคำถามเดียวแต่ไม่อาจเข้าสมการตัวแปรเดียวได้  ก็อาจต้องกำหนดขึ้นอีก 1 ตัว เป็นจำนวนที่เกี่ยวข้องกับค่าอื่น ๆ  ในโจทย์  ซึ่งไม่อาจเขียนในรูปตัวแปรเดียวกับตัวแรกซึ่งเป็นคำถามของโจทย์ได้  ต้องใช้วิธีการของระบบสมการเชิงเส้นมากกว่า 1 ตัวแปร

2.             โจทย์มีกี่ช่วง  แต่ละช่วงเกี่ยวพันกันอย่างไร  มีช่วยใดเท่ากันบ้าง จะได้นำมาเข้าสมการ

3.             จะเป็นระบบสมการเชิงเส้นกี่ตัวแปรขึ้นอยู่กับข้อ 1 ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว ต้องมี 2 สมการ ถ้ามี 3 แปร ต้องมี 3 สมการ

4.             การแก้ระบบสมการในข้อ 3 ทำตามการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ผ่านมาแล้ว

นอกจากนี้ยังต้องมีความรู้ในเรื่องอื่น ๆ ด้วย ซึ่งโจทย์ปัญหามักเกี่ยวข้องกับตัวแปร  2 ตัวเช่น

1.              จำนวนกับตัวเลข

เลข 2 หลัก ต้องกำหนดทีละหลัก เช่น ให้ x   เป็นหลักสิบและ  y  เป็นหลักหน่วย ใช้

ค่าประจำหลักเขียนเลขจำนวนนี้เป็น  10x + y

                       เลข 3 หลัก ต้องกำหนดทีละหลักเช่นกัน เช่น ให้  x  เป็นหลักร้อย  y  เป็นหลักสิบ และ   z เป็นหลักหน่วย จะได้เลขจำนวนนี้เป็น   100x + 10y + z

                       เลขเศษส่วน  ต้องกำหนดเศษและส่วนเป็นตัวแปรคนละตัว  เช่น ให้ x  เป็นเศษ และ  y  เป็นส่วน เศษส่วนจำนวนนั้นคือ

                       เลข 2 จำนวน  ต้องระบุลงไปว่า x  หรือ  y  เป็นจำนวนน้อยโจทย์ อีกจำนวนเป็นจำนวนมาก

                      ถ้าไม่มีจำนวนน้อย  จำนวนมาก แต่มี 2 จำนวน ให้กำหนดจำนวนแรกเป็น  x  อีกจำนวนหนึ่งเป็น  y แล้วเข้าสมการตามโจทย์ให้ถูก

2.              อายุในอดีต  - ปัจจุบัน – อนาคต

นิยมกำหนดอายุในปัจจุบันเป็น x  เป็น  y  แล้วใช้วิธีลบออกเมื่อต้องการหาจำนวนอายุ

เป็นปีในอดีต  และใช้วิธีบวกเมื่อต้องการหาอายุในอนาคต

3.              ราคาสิ่งของ – จำนวนสิ่งของ

จำนวนเงินทั้งหมด     =             จำนวนสิ่งของ  x ราคาต่อหน่วย

ราคาของหนึ่งหน่วย   =            จำนวนเงินทั้งหมด / จำนวนสิ่งของ

4.              กำไร-ขาดทุน-ส่วนลด-นายหน้า

กำไรร้อยละหรือขาดทุนร้อยละ  ต้องคิดจากต้นทุน  100 บาทเสมอ

 เช่น

                       กำไรร้อยละ  10         หมายถึง ต้นทุน 100 บาท  กำไร    10 บาท ต้องขาย  110  บาท

                       ขาดทุนร้อยละ  5       หมายถึง ต้นทุน 100 บาท  ขาดทุน  5 บาท  ขายเพียง  95  บาท

                       ส่วนลดร้อยละเท่าไรต้องกำหนดจากราคาที่ติดประกาศไว้

เช่น

                     ลดราคา  20%           หมายถึง  ติดประกาศไว้  100  บาท ลดให้ 20 บาท จะขายเพียง 80 บาทเท่านั้น  ไม่ใช่ลดจากต้นทุน  ต้องลดจากราคาที่ติดประกาศไว้

     ค่านายหน้าร้อยละเท่าไร ต้องคิดจากกราคาที่ขายได้

เช่น

                     ค่านายหน้า 5% จากการขายบ้าน หมายถึง ขายบ้านในราคา 100 บาท ต้องได้ค่านายหน้า 5 บาท จะได้เงินสุทธิเพียง 95 บาท

                5. ระยะทาง-ความเร็ว-เวลา

                                ระยะทาง               =             ความเร็ว x เวลา

                                เวลา                        =             ระยะทาง / ความเร็ว

เช่น                        ระยะทางทั้งหมด x กิโลเมตร ขับด้วยความเร็ว y กิโลเมตรต่อชั่วโมง

                             จะใช้เวลาทั้งมด =  ชั่วโมง

                6. กระแสน้ำ

                การแล่นเรือหรือพายเรือในน้ำเกี่ยวข้องกับกระแสน้ำ ความเร็วเรือในน้ำนิ่ง ทิศทางการเคลื่อนที่ของเรือตามหรือทวนน้ำ

                                ความเร็วของเรือที่ตามน้ำ   =  ความเร็วของเรือในน้ำนิ่ง+ความเร็วของกระแสน้ำ

                                ความเร็วของเรือที่ทวนน้ำ  =  ความเร็วของเรือในน้ำนิ่ง-ความเร็วของกระแสน้ำ

                                เขียนสั้นๆ                             ตามน้ำ   =   น้ำนิ่ง+กระแสน้ำ                        ….…(1)

                                                                                ทวนน้ำ  =    น้ำนิ่ง –กระแสน้ำ                       ….…(2)

                ถ้านำ (1)+(2) จะได้           ตามน้ำ+วนน้ำ     =    2น้ำนิ่ง          

                                นั่นคือ                                    น้ำนิ่ง     =     ตามน้ำ+ทวนน้ำ / 2                   ….…(3)

                เช่นเดียวกัน ถ้านำ (1)-(2) จะได้  กระแสน้ำ =    ตามน้ำ- ทวนน้ำ / 2                  …….(4)

                สูตร (1),(2),(3) และ (4) นี้ มีหน่วยเป็นระยะทางขณะเวลาเท่ากัน

                7. ของผสม

                เป็นการนำของที่มีคุณภาพต่างกันมาผสมกัน ให้เกิดของที่มีคุณภาพอยู่ระหว่างของเดิมนั้น เช่น

                 เอาของดีผสมของไม่ดีแล้วได้ของชนิดปานกลาง วิธีทำต้องกำหนดจำนวนของท่าผสมแต่ละชนิด แล้วต้องหาต้นทุนของของผสมนั้นด้วยทุกครั้ง

               8. แรงงาน

                การคำนวณเกี่ยวกับแรงงานของคน สัตว์ สิ่งของ ต้องสัมพันธ์กับเวลา โดยใช้หลักการเทียบเวลา 1 หน่วยเวลา 

• ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลย
• ตัวอย่างโจทย์สมการ